Serie de Taylor para Calcular Senos

Serie de Taylor


A medida que aumenta el grado del polinomio de MacLaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de MacLaurin a sen(x), centradas en 0, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).

En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como {\displaystyle (x-a)^{n}} ( x-a )^n llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto {\displaystyle a} a suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero, {\displaystyle a=0} a=0, se le denomina también serie de McLaurin.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent). Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

Codigo Fuente en C++

#include <iostream>
using namespace std;
int factorial(int N)
{
int i;
long int fac=1;
for(i=1;i<=N; i++)
{

fac=fac*i;

}
return(fac);
}

int main()
{
//sen(x)
//hallar la suma de 1!+ 2!+ 3!+4!+5!............N!

long int n,i,r,s,verde,fact[100],x;
//float fact[100]={0};
s=0;


//cout<<x;
x=90;

cout << "Valor de X=" <<x<<endl;
cout<<"Sen("<<x<<")";
cout<<"\n";
//cout << "Cuantos numeros" << endl;
n=13;

for (i=1; i<=n;i++)
{
verde=factorial(i);
s=s+verde;
if ( i>=2)
{
r=i % 2;
}

if (r!=0)
{

cout<<" + (";
  cout<<"x"<<i;cout<<"/";
  cout<<"";
  cout<<verde;
  cout<<") ";

}

}

 cout<<"\nRemplazamos la x="<<x;
 cout<<"\n\n";
for (i=1; i<=n;i++)
{
verde=factorial(i);



s=s+verde;
if ( i>=2)
{
r=i % 2;
}

if (r!=0)
{

//cout<<" + (";
  //cout<<"x"<<i;cout<<"/";
  //cout<<"";
  //cout<<verde;
  //cout<<") ";

  //remplazas X
  cout<<" + (";
  cout<<"(";
  cout<<x;
  cout<<")^";
  cout<<i;cout<<"/";
  cout<<"";
  cout<<verde;
  cout<<") ";

}

}
//cout<<"La suma d
//cout<<"La suma de los factoriales es ....:"<<fact(0)<<"+"<<fact(1)<<"+"<<fact(2)<<"+"<<fact(3)<<"\t="<<s;

//cout<<"="<<s;

//return 0;

}